RSA非对称加密算法详解

RSA非对称加密算法详解

RSA加密算法是最常用的非对称加密算法，由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）于1977年一起提出，RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。非对称加密算法的特点就是加密秘钥和解密秘钥不同，秘钥分为公钥和私钥，用私钥加密的明文，只能用公钥解密；用公钥加密的明文，只能用私钥解密。

RSA是第一个比较完善的公开密钥算法，它既能用于加密，也能用于数字签名。这个算法经受住了多年深入的密码分析，虽然密码分析者既不能证明也不能否定RSA的安全性，但这恰恰说明该算法有一定的可信性，目前它已经成为最流行的公开密钥算法。RSA的安全基于大数分解的难度。其公钥和私钥是一对大素数（100到200位十进制数或更大）的函数。从一个公钥和密文恢复出明文的难度，等价于分解两个大素数之积（这是公认的数学难题）。

首先复习一下数学上的几个基本概念，它们在后面的介绍中要用到：
一、 什么是“素数”？
　　素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任何其它两个整数的乘积。例如，15＝3＊5，所以15不是素数；又如，12＝6＊2＝4＊3，所以12也不是素数。另一方面，13除了等于13＊1以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个素数。素数也称为“质数”。

二、什么是“互质数”（或“互素数”）？
　　小学数学教材对互质数是这样定义的：“公约数只有1的两个数，叫做互质数。”这里所说的“两个数”是指自然数。
　　判别方法主要有以下几种（不限于此）：
（1）两个质数一定是互质数。例如，2与7、13与19。
（2）一个质数如果不能整除另一个合数，这两个数为互质数。例如，3与10、5与 26。
（3）1不是质数也不是合数，它和任何一个自然数在一起都是互质数。如1和9908。
（4）相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16。
（5）相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。
（6）大数是质数的两个数是互质数。如97与88。
（7）小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。如 7和 16。
（8）两个数都是合数（二数差又较大），小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。如357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的约数，这两个数为互质数。等等。

三、什么是模指数运算？
　　指数运算谁都懂，不必说了，先说说模运算。模运算是整数运算，有一个整数m，以n为模做模运算，即m mod n。怎样做呢？让m去被n整除，只取所得的余数作为结果，就叫做模运算。例如，10 mod 3=1；26 mod 6=2；28 mod 2 =0等等。
　　模指数运算就是先做指数运算，取其结果再做模运算。如(5^3) mod 7 = (125 mod 7) = 6。
　　接下来正式讲解RSA加密算法。

四、RSA算法描述
RSA的公钥、私钥的组成，以及加密过程、解密过程的公式可见于下表：
公钥KU   
n：两素数p和q的乘积（p和q必须保密）（n为模值）
e：与(p-1)*(q-1)互质（e称为公钥指数）
私钥KR   
n：两素数p和q的乘积（p和q必须保密）（n为模值）
d：满足(d*e) mod ((p-1)*(q-1)) = 1（d称为私钥指数）

加密过程    C=M^e mod n  （C为密文）
解密过程    M=C^d mod n  （M为明文）

其中，符号^表示数学上的指数运算；mod表示模运算，即相除取余数。具体算法步骤如下：
（1）选择一对不同的、足够大的素数p，q。
（2）计算n=p*q。
（3）计算f(n)=(p-1)*(q-1)，同时对p, q严加保密，不让任何人知道。
（4）找一个与f(n)互质的数e作为公钥指数，且1<e<f(n)。
（5）计算私钥指数d，使得d满足(d*e) mod f(n) = 1
（6）公钥KU=(e,n)，私钥KR=(d,n)。
（7）加密时，先将明文变换成0至n-1的一个整数M。若明文较长，可先分割成适当的组，然后再进行交换。设密文为C，则加密过程为：C=M^e mod n。
（8）解密过程为：M=C^d mod n。

五、实例描述
　　本文不对RSA算法的正确性作严格的数学证明，我们通过一个简单的例子来理解RSA的工作原理。为了便于计算。在以下实例中只选取小数值的素数p,q,以及e，假设用户A需要将明文“key”通过RSA加密后传递给用户B，过程如下：
（1）设计公私密钥(e,n)和(d,n)。
令p=3，q=11，得出n=p×q=3×11=33；f(n)=(p-1)(q-1)=2×10=20；取e=3，（3与20互质）则e×d mod f(n) = 1，即3×d mod 20 =1。
d怎样取值呢？可以用试算的办法来寻找。试算结果见下表：

通过试算我们找到，当d=7时，e×d mod f(n) = 1等式成立。因此，可令d=7。从而我们可以设计出一对公私密钥，加密密钥（公钥）为：KU =(e,n)=(3,33)，解密密钥（私钥）为：KR =(d,n)=(7,33)。

2）英文数字化。
　　将明文信息数字化，并将每块两个数字分组。假定明文英文字母编码表为按字母顺序排列数值，即：

3）明文加密
　　用户加密密钥(3,33) 将数字化明文分组信息加密成密文。由C=M^e mod n得：

        M1 = C1^e mod n = 11^3 mod 33 = 11

        M2 = C2^e mod n = 5^3 mod 33 = 26

        M3 = C3^e mod n = 25^3 mod 33 = 16
　　因此，得到相应的密文信息为：11，26，16。
（4）密文解密
　　用户B收到密文，若将其解密，只需要计算M=C^d mod n，即：

        C1 = M1^d mod n = 11^7 mod 33 = 11

        C2 = M2^d mod n = 26^7 mod 33 = 5

        C3 = M3^d mod n = 16^7 mod 33 = 25

用户B得到明文信息为：11，05，25。根据上面的编码表将其转换为英文，我们又得到了恢复后的原文“key”。

当然，实际运用要比这复杂得多，由于RSA算法的公钥私钥的长度（模长度）要到1024位甚至2048位才能保证安全，因此，p、q、e的选取、公钥私钥的生成，加密解密模指数运算都有一定的计算程序，需要仰仗计算机高速完成。

六、RSA的安全性

         首先，我们来探讨为什么RSA密码难于破解？
　 　在RSA密码应用中，公钥KU是被公开的，即e和n的数值可以被第三方窃听者得到。破解RSA密码的问题就是从已知的e和n的数值（n等于pq），想法求出d的数值，这样就可以得到私钥来破解密文。从上文中的公式：(d*e) mod ((p-1)*(q-1)) = 1，我们可以看出，密码破解的实质问题是：从p*q的数值，去求出(p-1)和(q-1)。换句话说，只要求出p和q的值，我们就能求出d的值而得到私钥。
　 　当p和q是一个大素数的时候，从它们的积p*q去分解因子p和q，这是一个公认的数学难题。比如当p*q大到1024位时，迄今为止还没有人能够利用任何计算工具去完成分解因子的任务。因此，RSA从提出到现在已近二十年，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。
　　缺点1：虽然RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。即RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何。

下表列出了对同一安全级别所对应的密钥长度。

缺点2：从上边可以看出，同样安全级别的加密算法，RSA需要更长的密钥。这就使运算速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级。且随着大数分解技术的发展，这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。

       缺点3：RSA产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密。

因此，使用RSA只能加密少量数据，大量的数据加密还要靠对称密码算法。实际应用中一般用来加密对称算法的密钥，而密文多用对称加密算法加密传输。

七、RSA1024/2048

RSA算法密钥长度的选择是安全性和程序性能平衡的结果，密钥长度越长，安全性越好，加密解密所需时间越长。实际中常使用1024bit秘钥和2048bit秘钥，分别称为RSA1024和RSA2048。秘钥包含公钥和私钥，即公钥私钥长度一样，都是1024bit或2048bit。RSA几个特性如下：

1.密钥长度增长一倍，公钥操作所需时间增加约4倍，私钥操作所需时间增加约8倍，公私钥生成时间约增长16倍。

2. 一次能加密的密文长度与密钥长度成正比， len_in_byte(raw_data) = len_in_bit(key)/8 -11，如1024bit的密钥，一次能加密的内容长度为 1024/8 -11 = 117 byte。所以非对称加密一般都用于加密对称加密算法的密钥，而不是直接加密内容。

3. 加密后密文的长度为密钥的长度，如密钥长度为1024bit(128Byte)，最后生成的密文固定为 1024bit(128Byte)。

关于RSA密钥长度、明文长度和密文长度请参考：RSA密钥长度、明文长度和密文长度。
参考文献：
[1]https://www.cnblogs.com/jiftle/p/7903762.html
[2]https://blog.csdn.net/liwei16611/article/details/83751851
[3]http://blog.sina.com.cn/s/blog_4fcd1ea301012o4q.html
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